Меню

УСЛОВИЕ:
Найти значение функции \( 5^{log_5*(X+4)-log_\frac{1}{5}*(\frac{X^3-9X}{X+4})} \) в точке максимума.


РЕШЕНИЕ:$$ \displaystyle y=5^{log_5{(x+4)-log_{ \frac{1}{5}}( \frac{x^3-9x}{x+4})}} $$

ОДЗ:

$$ \displaystyle \left \{ {{ \frac{x^3-9x}{x+4} > 0 } \atop {x+4 > 0}} \right. $$

 $$ \left \{ {{x > -4} \atop {x:(-oo;-4)(-3;0)(3;+oo)}} \right. \\ x:(-3;0)(3;+oo) $$

преобразуем показатель степени

$$ \displaystyle log_5(x+4)-log_{5^{-1}}( \frac{x^3-9x}{x+4})=log_5(x+4)+log_5( \frac{x^3-9x}{x+4})= $$

$$ \displaystyle =log_5(x+4)* \frac{x^3-9x}{x+4}=log_5(x^3-9x) $$

$$ \displaystyle 5^{log_5(x^3-9x)}=x^3-9x $$

Найдем производную

$$ \displaystyle (x^3-9x)`=3x^2-9 $$

Найдем критические точки

$$ \displaystyle 3x^2-9=0 \\ 3x^2=9 \\ x^2=3 \\ x_1= \sqrt{3} \\ x_2=- \sqrt{3} $$


___+_________-___________+____
            -√3                    √3

Значит функция  на промежутке (-3;0) имеет максимум х=-√3
а на промежутке (3;+oo), бесконечно возрастает

А значит найти максимум функции на всей области  определения невозможно

значение в y(-√3)=6√3






Похожие примеры: