Меню

УСЛОВИЕ:
При каких значениях параметра а множеством корней уравнения |x+3|+|x-1|=а является числовой отрезок, длина которого = 4?


РЕШЕНИЕ:Это задание легко решается графически. Чертим график функции f(x)=|x+3|+|x-1|
График функции а представляет собой прямую, параллельную оси ох
Мы ищем промежуток в графике модуля,  где расстояние между ветвями равно 4
Видим, что только при а=4 промежуток равен 4,  дальше идет увеличение промежутка,  а при а<4 решений нет.

При каких значениях параметра а множеством корней уравнения |x+3|+|x-1|=а является числовой отрезок, длина которого = 4 ?
Решим данное уравнение аналитически по методу интервалов
Найдем точки смены знаков выражений под модулями |x+3| и |x-1|
х+3=0    и х-1 = 0
х=-3          х=1
Получили три области (-бескон;-3];[-3;1];[1;+бескон)
В первом интервале (-бескон;-3]
х+3<0 и х-1<0
Поэтому Ix+3I=-x-3    и Ix-1I=1-x
Запишем уравнение
Ix+3I+Ix-1I =a
-x-3 +1-x=a
 a=-2х-2 или х=(-a-2)/2
Так как х принадлежит (-бескон;-3] то a принадлежит [4;+бескон)
Решением на этом отрезке является одна точка
На интервале [-3;1]
 х+3>0 и х-1<0
Поэтому Ix+3I=x+3    и Ix-1I=1-x
Запишем уравнение
Ix+3I+Ix-1I =a  
x+3+1-x=a
 4=a
Поэтому при а=4 решением  является множество х принадлеж [-3;1]
На интервале [1;+бескон)
х+3>0 и х-1>0
Поэтому Ix+3I=x+3    и Ix-1I=x-1
Запишем уравнение
Ix+3I+Ix-1I =a
x+3+x-1 =a
a=2x+2    или х =(а-2)/2 
 Так как х принадлежит [1;+бескон) то a принадлежит [4;+бескон)
Решением на этом отрезке является одна точка
Следовательно решением данного уравнения при a>4  являются два значения
х =(а-2)/2   и х=-(а+2)/2 
При а=4 множество значений х принадлежащих [-3;1] длинной =4
При a<4 решений данное уравнение не имеет.
Ответ: при а=4






Похожие примеры: