Меню

УСЛОВИЕ:
1. Найти сумму корней уравнения \( \sqrt{x+1}- \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12} \)
2. Найти сумму целых решений неравенства \( 3x-|6x-18|>0 \)
3. Указать количество корней уравнения \( sin2x= \sqrt{2}cos( \frac{ \pi }{2}+x) \) из промежутка \( [-2 \pi ;- \pi ] \)


РЕШЕНИЕ:1.
$$ \sqrt{x+1}- \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}, \\ \begin{cases}x+1 \geq 0, \\9-x \geq 0, \\2x-12 \geq 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x \geq -1, \\x \leq 9, \\x \geq 6;\end{cases} \\ 6 \leq x \leq 9; \\ $$
$$ ( \sqrt{x+1}- \sqrt{9-x} )^2 = (\sqrt{2x-12})^2, \\ (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{9-x}+(\sqrt{9-x})^2 = 2x-12, \\ x+1 - 2\sqrt{(x+1)(9-x)}+9-x = 2x-12, \\ - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x-22, \\ \sqrt{-x^2+8x+9} = 11-x, \\ (\sqrt{-x^2+8x+9})^2 = (11-x)^2, \\ -x^2+8x+9 = 121-22x+x^2, \\ 2x^2-30x+112=0, \\ x^2-15x+56=0, \\ x_1+x_2=15. $$
2.
$$ 3x-|6x-18|>0, \\ |6x-18|<3x, \\ x \geq 0, \\ \left \{ {{6x-18<3x,} \atop {6x-18>-3x;}} \right. \\ \left\{ {{3x<18,} \atop {9x>18;}} \right. \\ \left\{ {{x<6,} \atop {x>2;}} \right. \\ 2 < x < 6; x\in(2;6); \\ 3+4+5=12 $$
3.
$$ \sin2x = \sqrt2\cos(\frac{\pi}{2}+x), \\ 2\sin x\cos x = -\sqrt2\sin x, \\ 2\sin x\cos x + \sqrt2\sin x = 0, \\ \sin x(2\cos x + \sqrt2) = 0, \\ \left[ {{\sin x = 0,} \atop {\cos x = -\frac{\sqrt2}{2};}} \right. \\ \left[ {{x=\pi k, k\in Z,} \atop {x = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z;}} \right. \  $$
$$ x\in[-2\pi;-\pi], \\ \left[ \begin{array} -2\pi \leq \pi k \leq -\pi, -2\pi \leq \frac{3\pi}{4}+2\pi k \leq -\pi, -2\pi \leq -\frac{3\pi}{4}+2\pi k \leq -\pi; \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array} -2 \leq k \leq -1, - 1\frac{3}{8} \leq k \leq - \frac{7}{8}, -\frac{5}{8} \leq k \leq -\frac{1}{8}; \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array} \\ k\in \{-2;-1\}, k=-1, \\ k\in\varnothing; \end{array} \right. $$
3 корня.






Похожие примеры: