Меню

УСЛОВИЕ:
Сколько существует значений а, при которых уравнение "модуль(x^2-5*a*x)=15*a" имеет три различных действительных корня?


РЕШЕНИЕ:

Итак, уравнение такое
|x^2 - 5ax| = 15a
Из уравнения сразу ясно, что a >= 0, потому что модуль >= 0.
1) При а = 0
|x^2 - 0| = 0; x = 0 - единственный корень, не подходит.

2) x^2 - 5ax = -15a < 0
x^2 - 5ax = x(x - 5a) < 0
a > 0, то есть 5a > 0, тогда 0 < x < 5a
|x^2 - 5ax| = 5ax - x^2
Подставляем
5ax - x^2 = -15a 
5ax - x^2 + 15a = 0
x^2 - 5ax - 15a = 0 
D = 25a^2 + 4*15a = 25a^2 + 60a > 0 при любом a > 0
x1 = (5a - √(25a^2 + 60a)) / 2; x2 =  (5a + √(25a^2 + 60a)) / 2 

3) 5ax - x^2 = 15a > 0
5ax - x^2 - 15a = 0
x^2 - 5ax + 15a = 0
D = 25a^2 - 4*15a = 25a^2 - 60a = 5a(5a - 12) > 0
5a(5a - 12) > 0, при этом мы знаем, что a > 0, тогда
5a - 12 > 0; a > 12/5
x1 = (5a - √(25a^2 - 60a)) / 2; x2 =  (5a + √(25a^2 - 60a)) / 2 

3) При а = 12/5 будет
|x^2 - 12x| = 15*12/5 = 3*12 = 36
a) x^2 - 12x = 36
x^2 - 12x - 36 = 0;
D/4 = 6^2 + 36 = 72 = (6√2)^2
x1 = 6 - 6√2; x2 = 6 + 6√2
b) x^2 - 12x = -36
x^2 - 12x + 36 = 0
(x - 6)^2 = 0
x3 = 6
При а = 12/5 будет 3 корня
Ответ: три корня будет только при а = 12/5






Похожие примеры: