Меню

УСЛОВИЕ:

Решить систему уравнений

x^3-3x=y^3-3y

x^2012+y^2012=1

Для каждого значения параметра а розвязать неравенство

cos^2*3x+2a*sin3x-2a>a^2



РЕШЕНИЕ:

1) Рассмотрим наше первое уравнение в системе

$$ x^3-y^3=3(x-y) $$

$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0 $$

$$ (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 $$

Первое случай: это x-y=0 ⇒ x=y, подставляя во второе, получим следующие ответы

$$ x = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}}, y = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}} $$

Из второго случая: $$ x^2+xy+y^2-3=0 $$

Рассмотрим теперь наше другое уравнение:

$$ x^{2012}+y^{2012}=1 $$

отсюда можем сказать, что |x|≤1, |y|≤1 (учитывая, что их сумма в такой степени должна быть равна 1)

Также можем утверждать, что x²+y²<2. (x и y одновременно не равны 1, не удовлетворяют второму уравнению системы)

Далее

$$ x^2+xy+y^2=\frac{3}{2}(x^2+y^2)-\frac{1}{2}(x-y)^2=3 $$

т.е. (3/2)(x²+y²)≥3 ⇒ x²+y²≥2

x²+y²≥2 и x²+y²<2 - что противоречит друг другу, т.е. в этом случае нет решений, иначе говоря, если x≠y то решений нет.

 

2) 1 - Sin²3x + 2aSin3x - 2a - a² > 0

    Sin²3x - 2aSin3x + (a²+2a-1) < 0

Sin3x = t (-1≤t≤1)

t² - 2at + (a²+2a-1) < 0

D = 4a² - 4(a²+2a-1) = -8a + 4

при a ≤ 1/2 - нет решений

D>0 ⇒ -8a + 4 > 0 ⇒ a < 1/2

t1 = a - √(1-2a)

t2 = a + √(1-2a)

a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

Также рассмотрим систему:

a - √(1-2a) ≥ -1

a + √(1-2a) ≤ 1

a < 1/2

Заметим, что границы первых двух неравенств достигаются при a=0

При a∈[0, 1/2) -

a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

$$ \frac{(-1)^karcsin(a-\sqrt{1-2a})}{3}+\frac{\pi k}{3}






Похожие примеры: