Меню

УСЛОВИЕ:
Все члены геометрической прогрессии - положительные числа. Известно, что разность между первым и пятым членами равна 15, а сумма первого и третьего членов равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии.


РЕШЕНИЕ:

$$ b_{1}.b_{n}>0 $$
$$ q>0 $$
$$ b_{1}-b_{5}=15 $$
$$ b_{1}+b_{3}=20 $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2} $$
$$ b_{5}=b_{1}*q^{4} $$
$$ b_{1}-b_{1}*q^{2}=15 $$
$$ b_{1}+b_{1}*q^{4}=20 $$
$$ b_{1}*(1-q^{4})=15 $$
$$ b_{1}*(1+q^{2})=20 $$
Разделим одно уравнение на другое:
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{15}{20} $$
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ \frac{(1-q^{2})(1+q^{2})}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ 1-q^{2}=\frac{3}{4} $$
$$ q^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} $$
$$ q=0.5 $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1-q^{4}} $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1- \frac{1}{16}}=\frac{15*16}{15}=16 $$
$$ b_{10}=b_{1}*q^{9} $$
$$ b_{10}=16* \frac{1}{2^{9}}=\frac{2^{4}}{2^{9}}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32} $$






Похожие примеры: