Меню

УСЛОВИЕ:
Интервал монотонности функции f(x) = x^3 + lnx


РЕШЕНИЕ:Следует сделать важное замечание, которое имеет очень серьёзные последствия для всего решения.

Область определения заданной функции вовсе не вся числовая ось, а только положительные числа, поскольку на отрицательных числах функция логарифма в действительных числах не определена.

Итак $$ D( f(x) ) \equiv ( 0 ; +\infty ) $$


Далее, продолжаем ваше решение:

$$ f’_x (x) = 3x^2 + \frac{1}{x} $$

$$ f’_x (x) = 0 $$

$$ \frac{ 3x^3 + 1 }{x} = 0 $$

$$ x \neq 0 $$

$$ 3x^3 + 1 = 0 $$

$$ 3x^3 = -1 $$

$$ x^3 = -\frac{1}{3} $$

$$ x = -\frac{1}{ \sqrt[3]{3} } $$

Или сразу можно записать в интервальном виде:

$$ 3x^3 + 1 = ( x + \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - \frac{x}{ \sqrt[3]{3} } + \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } ) $$
$$ f’_x (x) = ( 1 + \frac{1}{ x \sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - \frac{x}{ \sqrt[3]{3} } + \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } ) $$


Причём, что следует и из предыдущего решения:

$$ D = \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } - \frac{4}{ \sqrt[3]{9} } < 0 $$

а значит, других корней нет. А поэтому, на области определения, т.е. при $$ x>0 $$ заданная функция всегда имеет положительную производную, а значит, всегда монотонно возрастает.




О т в е т : интервал монотонного возрастания

функции $$ f(x) = x^3 + \ln{x} $$ – это $$ ( 0 ; +\infty ). $$




*** Дополнение. У данной функции есть два интервала разнонаправленного кручения (что видно и из графика). От ноля до некоторого значения она закручивается по часовой стрелки, а после некоторого числа – против. Для нахождения этой точки (точки перегиба) можно решить как уравнение относительно ноля, вторую производную заданной функции.

$$ f’’_x (x) = ( 3x^2 + \frac{1}{x} )’_x = 6x - \frac{1}{x^2} = \frac{ 6x^3 - 1 }{x^2} $$

$$ x \neq 0 $$

$$ 6x^3 - 1 = 0 $$

$$ 6x^3 = 1 $$

$$ x^3 = \frac{1}{6} $$
$$ x = \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } \approx 0.550 $$

Это и есть абсцисса точки перегиба. Чтобы найти ординату точки перегиба, подставим это значение в исходную функцию:

$$ f(x=\frac{1}{ \sqrt[3]{6} }) = ( \frac{1}{ \sqrt[3]{6} })^3 + \ln{ \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } } = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \ln{6} = \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} \approx -0.431 $$

Поскольку это единственный корень, то, с учётом общей алгебраической положительности второй производной, она положительна после него и отрицательна до.

Таким образом, на $$ x \in ( 0 ; \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } ) $$ и $$ y \in ( -\infty ; \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} ) $$ – вторая производная отрицательна, т.е. график функции выпуклый, а кручение графика происходит по часовой стрелки.

На $$ x \in ( \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } ; +\infty ) $$ и $$ y \in ( \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} ; +\infty ) $$ – вторая производная положительна, т.е. график функции вогнутый, а кручение графика происходит против часовой стрелки.





Похожие примеры: