Меню

УСЛОВИЕ:
Найти все а, при каждом из которых система неравенств имеет 1 решение. Система объединяет 2 неравенства:
(x-a)^2+y^2<=25a^2
3x+4y<=12


РЕШЕНИЕ:Первое неравенство - это круг, с центром в точке (a;0); R=5a
Второе неравенство - это плоскость ограниченной прямой $$ 3x+4y-12 $$
Прямая так же проходит через точки $$ (4;0)\ U \\ (0;3) $$. Можно сказать что радиус будет большим, так как уже известно, что по оси центр будет точка 0, а что бы сама система имела единственное решение, достаточно чтобы это прямая была касательной к окружности. То есть система неравенство переходит в систему уравнений.
$$ \left \{ {{(x-a)^2+y^2=25a^2} \atop {3x+4y=12}} \right. \\ \left \{ {{(x-a)^2+(\frac{12-3x}{4})^2=25a^2} \atop {y=\frac{12-3x}{4}}} \right. \\ 25x^2-x(32a+72)-384a^2+144=0 \\ D=\sqrt{(32a+72)^2+100(384a^2-144)}=0 \\ a=-\frac{6}{11} $$
То есть когда дискриминант равен 0, корень один 
при a=-6/11
$$ x=\frac{12}{11}; y=\frac{24}{11} $$






Похожие примеры: