Меню

УСЛОВИЕ:
Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах в квадрате -4х+3а+1>0 выполняется при всех х<0


РЕШЕНИЕ:$$ ax^2-4x+3a+1>0 $$
Отдельный случай
$$ a=0 $$ квадратное неравенство вырождается в линейное
$$ -4x+1>0 $$
$$ 1>4x $$
$$ 4x<1 $$
$$ x<0.25 $$
а значит выполняется для всех $$ x<0 $$
Пусть теперь
$$ a \neq 0 $$
квадратное неравенство, чтоб оно выполнялось
нужно чтоб ветви параболы были направлены верх
(очевидно если ветви будут вниз то найдется где-то точка ближе к минус бесконечности так точно для которой значение функции задающей л.ч неравенства будет отрицательно, так как в случае ветвей вниз, только ограниченная часть параболы находится выше оси абсцисс)

итак имеем первое необходимое условие $$ a>0 $$

дальше два случая
первый случай - если корней нет ($$ D<0 $$) - отлично, график параболы выше оси Ох - неравенство выполняется
$$ a>0; D<0 $$
$$ a>0; (-4)^2-4a(3a+1)<0 $$
$$ a>0 $$
$$ 4*4-4(3a^2+a)<0 $$
$$ 4-3a^2-a<0 $$
$$ 3a^2+a-4>0 $$
$$ (3a+4)(a-1)>0 $$
Учитывая второе условие $$ a>0->3a+4>0$$ автоматически
и необходимо выполнение неравенства
$$ a-1>0 $$ или
$$ a>1 $$
теперь рассмотрим второй случай
$$ a>0 $$ - когда есть корни - точки пересечения с осью абсцисс - необходимо чтоб левый(меньшее число) (или единственный - одинаковый) корень лежал правее 0 (или равнялся 0), таким образом: $$ a>0;D \geq 0; 0 \leq x_1 < x_2 $$
$$ a>0; (3a+4)(a-1) \geq 0; 0\leq \frac{4-2\sqrt{(3a+4)(a-1)}}{2a} $$
$$ 0 < a \leq 1; $$ - с первых двух неравенств (аналогично по рассуждениям относительно первого случая)
$$ 2\geq \sqrt{3a^2+a-4} $$
$$ 4>3a^2+a-4 $$
$$ 3a^2+a-8<0 $$ - что очевидно верно при условиях $$ 0 < a \leq 1 $$
объединяя все, получаем что данное неравенство верно при $$ а є [0;+\infty) $$

Ax^2-4x+3a+1>0 x<0                              
a>0 D<0 x<0
D=4-3a^2-a
4-3a^2-a<0
3a^2+a-4>0        3a^2+a-4=0
 (a-1)(a+4/3)>0   a1=1 a2=-4/3    
   -4/3 -1    1
+          -      +
a≥0 x<0
-4/3 -1/3<а 0, (2 -√D)/a 0






Похожие примеры: