Меню

УСЛОВИЕ:

Найти все а, при которых уравнение x^5-5x+a=0 имеет два различных действительных корня



РЕШЕНИЕ:

1)Для решения используем графическую интерпретацию. Количество решений уравнения f(x)=g(x) - это количество точек пересечения графиков y=f(x) и y=g(x).

Запишем уравнение в виде ч$$ x^5=5x-a $$.

2) При а=0 уравнение примет вид х⁵=5х, которое имеет три решения. (см рисунок).

Если смещать прямую y=5x вдоль оси 0y можем получить две точки пересечения с графиком функции  у=х⁵, если прямая y=5x-а будет касаться графика у=х⁵ (см рисунок). В этом случае и будет два решения. ( в остальных случаях либо 3 либо одна точка пересечения).

3) По геометрическому смыслу производной в точке касания производная функции   у=х⁵ должна быть равна 5.   $$ y’(x)=5x^4 $$ тогда $$ 5x^4=5 $$, тогда х=1 или х=-1.

 

4) Уравнение касательной $$ y=y(x_{0})+y’(x_{0})(x-x_0) $$

 

при х=1 у(1)=1; y’(1)=5  и уравнение касательной у=1+5(х-1), у=5х-4, тогда а=4.

при х=-1 у(1)=-1; y’(1)=5  и уравнение касательной у=-1+5(х+1), у=5х+4, тогда а=-4.

 

Ответ а=4 или а =-4

 
Найти все а, при которых уравнение x^5-5x+a=0 имеет два различных действительных корня




Похожие примеры: