Меню

УСЛОВИЕ:
Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом). Один из его корней равен 2+i.


РЕШЕНИЕ:

$$ x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0 $$

Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

$$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)=\\= x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db $$

имеем систему
$$ \left\{ {c+a=-4 \atop d+a+b=2} \right. \left\{ {ad+bc=12 \atop bd=-15} \right. $$

рассмотрим методом подбора 
в= -3 d=5
a=-4-c
подставим во второе

$$ (-4-c)*5-3c=12 - 8c=32 c=-4 a=0 $$

проверим по второму уравнению
d+a+b= 5+0-3= 2

нам подходит. Тогда запишем в виде

$$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5) $$

рассмотрим второй множитель

$$ x^{2} -4x+5=0 D=16-20 < 0 $$

корней нет

$$ (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})( x^{2} -4x+5) $$








Похожие примеры: