Меню

УСЛОВИЕ:
Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой геометрической прогресии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся первые три члена некоторой арифметической прогрессии. Найдите сумму первых ста членов исходной арифметической прогрессии.


РЕШЕНИЕ:


Пусть первый, второй и пятый члены исходной арифметической прогрессии

а1 = х
а2 = x + d
а5 = x + 4d

Они же   -  это  первые три члена геометрической прогрессии:
b1 = x,  b2 = x + d,    b2 = x + 4d,
значит
$$ \frac{x + d}{x} = \frac{x + 4d}{x + d} \\ (x + d)^{2} = x(x + 4d) \\ x^{2} + 2xd + d^{2} = x^{2} +4xd \\ d^{2} = 2xd \\ d = 2x $$  
$$ x = \frac{d}{2} $$
Из них получаем первые три члена другой арифметической прогрессии:

с1 = b1+1  = x +1,  
с2 = b2+1 = x + d +1,    
с3 = b2 - 3 = x + 4d - 3  
Тогда 
$$ (x + d +1) - (x +1) = (x + 4d - 3) - (x + d +1) \\ x + d +1 - x - 1 = x + 4d - 3 - x - d - 1 \\ d = 3d - 4 \\ 2d = 4 \\ d = 2 $$
Значит  а1 = х = d/2 = 2/2 = 1.

Тогда сумма первых ста членов исходной арифметической прогрессии равна:
$$ S_{100} = \frac{2 a_{1}+99d }{2} *100 = \frac{2 *1+99*2 }{2} *100 = (1+99)*100 = \\ = 100*100 = 10000 $$

Ответ:  10000.










Похожие примеры: