Меню

УСЛОВИЕ:
Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15.
Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по единице, а к третьему члену
прибавить единицу, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию.
Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.


РЕШЕНИЕ:

Сумма равна 120 числа: 3;5;7


an члены арифметической прогрессии
bn члены арифметической прогрессии

Сумма 3 первых членов арифметической прогрессии
a1+a2+a3=15

b1=a1-1
b2=a2-1
b3=a3+1
b1+b2+b3=a1-1+a2-1+a3+1=a1+a2+a3-1=15-1=14
S3=b1+b2+b3=14
Сумма 3 первых членов геометрической прогрессии:

S3=b1*(q³-1)/(q-1)=b1*(q-1)*(q²+q+1)/(q-1)=b1*(q²+q+1)
S3=(a1-1)*(q²+q+1)=14

S3=14 если значения в скобках будут 2 и 7,
т. е. 2*7=14
Составим два уравнения (одно квадратное)

(a1-1)=2 и (q²+q+1)=7  D=b2−4ac=12−4·1·(−6)=1+24=25   √D=√25=5
 a1=3         q²+q+1=7   q1=(−b+√D)/2a=(−1+5)/2·1=4/2=2                                   
                  q²+q-6=0    q2=(−b-√D)/2a=(−1-5)/2·1==6/2=-3                                 
 q=2        отрицательный корень -3 не рассматриваем                              
b1=a1-1=3-1 =2
b2=b1*q=2*2 =4
b3=b1*q²=2*4=8

a1         =3
a2=b2+1=4+1=5
a3=b3-1=8-1=7               
 
Sn=(a1+an)*n/2
d=a2-a1=5-3=2
a10=a1+d(n-1)=3+2(10-1)=21
сумму первых десяти членов арифметической прогрессии:
S10=(3+21)*5-24*5=120







Похожие примеры: