Меню

УСЛОВИЕ:
Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 63, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна -18.


РЕШЕНИЕ:

Для исходной бесконечно убывающей геом. прогресии $$ (b_n) $$ по условию: $$ S=b_1+b_2+b_3+.=\dfrac{b_1}{1-q}=63 $$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию $$ (c_n) $$, составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т. е. $$ c_1=b_2,c_2=b_4,c_3=b_6, $$
Эта новая прогрессия - также геом. бесконечно убывающая. Следовательно,
$$ \tilde{S}=c_1+c_2+c_3+.=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=-18 $$, где $$ \tilde{q}=\dfrac{c_2}{c_1}=\dfrac{b_4}{b_2} $$ - знаменатель новой геом. прогрессии.
Преобразуем:
$$ \tilde{S}=-18=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2} $$
Получаем систему: $$ \begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=63 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=-18 \end{cases} $$
Делим первое уравнение на второе:
$$ \dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\dfrac{63}{-18} \\ \dfrac{1+q}{q}=-\dfrac{7}{2} \\ 2+2q=-7q \\ 9q=-2 \\ q=- \frac{2}{9} $$
Ответ: \( - \frac{2}{9} \)




Похожие примеры: