Меню

УСЛОВИЕ:
Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56


РЕШЕНИЕ:

7n + 7n + 1 = 7n(1 + 7) = 7n×8 делится на 7 и на 8, следовательно, делится на 56.

Докажите что сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при $$ n \geq 1 $$.

Докажем по индукции:

База индукции: $$ n = 1, 7 + 7^2 = 56 $$ 

Индукционное предположение:  Пусть $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56

Шаг индукции: Покажем, что $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$ делится на 56.

Действтельно, $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1}) $$

Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

В силу Утверждения 1, так как $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56, то и $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$делится на 56.

Вывод: Сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при \( n \geq 1 \).






Похожие примеры: