Меню

УСЛОВИЕ:
Уравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если


РЕШЕНИЕ:Уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если
Решение:
Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
 
Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости.
у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх
D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках
Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох.
Уравнение y=a является прямой параллельной  оси Ох.
Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо
, чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a.
Найдем координаты вершины параболы.
Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2
Подставим это значение в уравнение параболы
 y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5
Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1|  равен y=|-5| =5
Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5)
Ответ:(0;5)


можно и так
$$ |x^2-4x-1|=a $$  (1)
 
во первых a>0  (2)
Далее  уравнение (1) "распадается" на два
$$ x^2-4x-1=a $$  (3)
$$ x^2-4x-1=-a $$  (4)
При этом должно быть выполнено (2)

Рассмотрим уравнение (3).
$$ x^2-4x-1=a $$ 
$$ x^2-4x-1-a=0 $$ Если (обозначим 1+a=с) Получим
$$ x^2-4x-c=0 $$  (5)
(5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
$$ 4^2-4*1*(-c)=16+4c > 0 $$
$$ 16+4c > 0 \\ 4c > -16 \\ c > -16/4=-4 \\ a+1 > -4 $$

$$ a > -5 $$    (6)

Аналогично из уравнения 4 получаем:
$$ x^2-4x-1=-a \\ x^2-4x-1+a=0 \\ c=a-1 \\ x^2-4x+c=0 \\ D=16-4c > 0 \\ 16-4c > 0 \\ -4c > -16 c < 4 \\ a-1 < 4 \\ a < 5 $$
a<5  (7)
Это еще два корня
Итого 4 корня
$$ x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16+4(1+a)} }{2} =2\pm \frac{2 \cdot \sqrt{4+(1+a)} }{2} =2\pm \sqrt{5+a} \\ x_{3,4}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4(a-1)} }{2} =2 \pm \frac{2\cdot \sqrt{4+1-a} }{2} =2\pm \sqrt{5-a} $$

Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0Ответ a∈(0;5)




Похожие примеры: