Меню

УСЛОВИЕ:
Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости от значения а:
а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину А;
б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину С;
в) f(a) — отношение, в котором прямая L делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку А).


РЕШЕНИЕ:Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией \( y = ax, a > 0 \) на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку \( A \), — это площадь фигуры под точкой \( A \) до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку \( C \), — это площадь фигуры над точкой \( C \) и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
==========
а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку \( A \), от величины \( a \).
Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
Рассмотрим оба случая отдельно.
СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
Имеем треугольник \( \triangle OAD \) (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной \( a \), а значит от величины a зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении \( a \geq 1\) (при a < 1 эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку \( \angle A = 90^{\circ}\), отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: \( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} \). Необходимо выразить эту площадь через величину a, то есть узнать, как катеты OA и AD зависят от a. Поразмышляем над этим:
При любом значении \( a \geq 1 \) катет OA (из условия точка 0 имеет координату y = 0, а точка A координату y = 4, отсюда OA = 4). OA никак не зависит от величины a. Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией y = ax, но не забывайте, что a > 0, а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то \( a \geq 1 \)9.
Теперь подумаем, как от величины a зависит катет AD.
Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата AB. Координата y этой прямой =4. С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией y = ax. Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты y равны. Так совпало, что координата x и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией y = ax. Нас интересует тот самый x, что является катетом треугольника. То есть тот x, который получается при y = 4. Запишем это:
\( y = ax \\ 4 = ax \\ x = \frac{4}{a} \)
Мы нашли зависимость катета AD от величины a.
Напомню формулу площади:
\( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} \)
Где OA = 4, \( AD =\frac{4}{a} \). Найдем теперь зависимость площади треугольника от a:
\( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} = \frac{4 \cdot \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{a} \)
Отлично, зависимость найдена. Но это только при \( a \geq 1 \). А что будет в случае, если \( 0 < a < 1 \)? Подумаем.
СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
Как мы уже отметили, при \(0 < a < 1 \) точкой A ограничена трапеция OABE (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:
\( s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB \)
Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от \( a, (0 < a < 1)\). Основание OA и высота AB от a не зависят. Зависит только меньшее основание BE. Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, OA = 4, AB = 4. Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции BE от величины a. Видим, что BC = BE + EC = 4
Отсюда: BE = BC - EC = 4 - EC
Остается найти EC. Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем EC = y, а на этот раз x=4. Получаем:
\( y = ax \\ y = 4a \\ y = EC \\ EC = 4a \)
Вспоминаем где нам нужно было EC:  BE = 4 - EC = 4 - 4a.
Теперь же найдем площадь трапеции:
\( s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB = \frac{4 + 4 - 4a}{2} \cdot 4 = \frac{4(2 - a)}{2} \cdot 4 = 16 - 8a \)
======
Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину A, зависит от величины a, причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы:
\( S_{A} = \left \{ {{\frac{8}{a}, (a \geq 1)} \atop {16 - 8a, (0 < a < 1)}} \right. \)
Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат




Похожие примеры: