Меню

УСЛОВИЕ:
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)= -x^2+3|x-1|+2 на отрезке [-2;2] больше не понимаю как найти производную от данной функции, возможно раскрыть модуль по определению и взять поочередно производную и еще, куда нужно подставлять полученные x чтоб найти значение производной?


РЕШЕНИЕ:F(x) = - x² +3|x-1| +2  ; x∈ [ -2 ;2]
a)  f(x) = - x² -3(x-1)  +2   = -x² -3x +5      x∈ [ -2 ;1]     ***  = - (x +3/2)² +29/4  ***   

f ’(x) = -2x -3 ;
f’ (x)                           +                            -
-----------   -2 ---------------------   - 3/2  --------- 1 
f(x)                             ↑                max           ↓
f( -3/2) =  - (-3/2)² - 3*(-3/2) +5 = 29/4 .

b)
  f(x) = - x² +3(x-1)  +2  = - x² +3x -1 ;x∈ [ 1 ;2]    
 ***   f(x) = - (x - 3/2)² +5/4 ; парабола :  вершина А(3/2 ; 5) ; ветви вниз   *** 

f’(x) = - 2x +3 ;
f ’(x)               +                        -
--- 1 -------------------   3/2 ---------------------- 2 
f(x)         ↑                max           ↓
f(3/2) = -(3/2)² +3*(3/2) -1 = 5/4  


f(- 2) = 7 ;  
f( -3/2) =29/4   ; f(1) =1 ;  f(3/2) =5/4 ;  f(2) =1.
сравнивая  эти данные заключаем 
max f(x)   =  f(-3/2) =7,25.
x∈[ -2 ;2] 

min f(x)   =  f(1) =f(2) = 1.
x∈[ -2 ;2] 
ответ : 7,25  ; 1.
-------------------------------------------
P.S.   x=1   критическая  
точка ( производная в этой точке не существует) ;
 
выясняется точка минимума (производная левее от x=1 отрицательно ,
а правее от нее положительно [при переходе знак меняется от "- " к  "+") .
и еще;   для этой  функции не стоит  применить  "
артиллерию" , достаточно
выделить полный квадрат (элементарно исслед  кв функ).
Постройте график 
.
 






Похожие примеры: